与えられた2次関数や放物線について、頂点の座標、最大値・最小値、定数の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題が含まれています。 [1] 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、頂点の座標と軸、最大値と最小値を求める。 [2] 2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$, $a > 0$) について、最大値が7のときの $a$ の値、最小値が-6のときの $a$ の値を求める。 [3] 放物線 $y = x^2$ を、2点 (2, 3), (5, 0) を通るように平行移動したときの2次関数を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数や放物線について、頂点の座標、最大値・最小値、定数の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題が含まれています。

[1] 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、頂点の座標と軸、最大値と最小値を求める。

[2] 2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$, $a > 0$) について、最大値が7のときの $a$ の値、最小値が-6のときの $a$ の値を求める。

[3] 放物線 $y = x^2$ を、2点 (2, 3), (5, 0) を通るように平行移動したときの2次関数を求める。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ を平方完成します。

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10 = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 9 + 10 = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$

よって、頂点の座標は (6, 1) であり、軸は直線 $x = 6$ です。

(2) 定義域が $2 \le x \le 8$ なので、グラフを考えると、

$x = 2$ のとき $y = \frac{1}{4}(2-6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(16) + 1 = 4 + 1 = 5$

$x = 8$ のとき $y = \frac{1}{4}(8-6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(4) + 1 = 1 + 1 = 2$

$x = 6$ のとき $y = 1$

よって、$x = 2$ で最大値 5, $x = 6$ で最小値 1 をとります。

[2]

2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ を平方完成します。

$y = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

軸は直線 $x = 2$ です。定義域は $1 \le x \le 5$ なので、

(1) $a > 0$ なので、最大値は $x = 5$ のときにとります。

$y(5) = a(5-2)^2 - 4a + 2 = 9a - 4a + 2 = 5a + 2 = 7$

$5a = 5$

$a = 1$

(2) $a > 0$ なので、最小値は $x = 2$ のときにとります。

$y(2) = -4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

[3]

放物線 $y = x^2$ を平行移動したグラフなので、$y = (x-p)^2 + q$ と表せます。これが (2, 3) と (5, 0) を通るので、

$3 = (2-p)^2 + q$

$0 = (5-p)^2 + q$

引くと、

$3 = (2-p)^2 - (5-p)^2 = (2-p+5-p)(2-p-5+p) = (7-2p)(-3)$

$-1 = 7-2p$

$2p = 8$

$p = 4$

$0 = (5-4)^2 + q = 1 + q$

$q = -1$

よって、$y = (x-4)^2 - 1 = x^2 - 8x + 16 - 1 = x^2 - 8x + 15$

3. 最終的な答え

[1]

(1) 頂点は (6, 1), 軸は $x = 6$

(2) $x = 2$ で最大値 5, $x = 6$ で最小値 1

[2]

(1) $a = 1$

(2) $a = 2$

[3]

$y = x^2 - 8x + 15$