問題は3つのパートに分かれています。 [1] 2次関数 $y = -\frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、 (1) グラフの頂点と軸を求める。 (2) 最大値と最小値、およびその時のxの値を求める。 [2] $a > 0$ とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、 (1) 最大値が7のときの定数aの値を求める。 (2) 最小値が-6のときの定数aの値を求める。 [3] 放物線 $y = x^2$ を、2点(2, 3), (5, 0) を通るように平行移動した放物線をグラフとする2次関数を求める。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

[1] 2次関数 $y = -\frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、

(1) グラフの頂点と軸を求める。

(2) 最大値と最小値、およびその時のxの値を求める。

[2] $a > 0$ とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、

(1) 最大値が7のときの定数aの値を求める。

(2) 最小値が-6のときの定数aの値を求める。

[3] 放物線 $y = x^2$ を、2点(2, 3), (5, 0) を通るように平行移動した放物線をグラフとする2次関数を求める。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 頂点を求めるために、平方完成を行います。

$y = -\frac{1}{4}x^2 - 3x + 10 = -\frac{1}{4}(x^2 + 12x) + 10 = -\frac{1}{4}(x^2 + 12x + 36 - 36) + 10 = -\frac{1}{4}(x+6)^2 + 9 + 10 = -\frac{1}{4}(x+6)^2 + 19$

よって、頂点は $(-6, 19)$ であり、軸は $x = -6$ です。

(2) $2 \le x \le 8$ の範囲で最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標は-6で、範囲外なので、区間の端点における値を調べます。

$x = 2$ のとき、 $y = -\frac{1}{4}(2)^2 - 3(2) + 10 = -1 - 6 + 10 = 3$

$x = 8$ のとき、 $y = -\frac{1}{4}(8)^2 - 3(8) + 10 = -16 - 24 + 10 = -30$

したがって、 $x = 2$ で最大値 3、 $x = 8$ で最小値 -30 をとります。

[2]

(1) $y = ax^2 - 4ax + 2 = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x-2)^2 - 4a + 2$

軸は $x = 2$ です。定義域 $1 \le x \le 5$ の範囲で、最大値は $x = 5$ のときにとります。

$y(5) = a(5-2)^2 - 4a + 2 = 9a - 4a + 2 = 5a + 2 = 7$

$5a = 5$

$a = 1$

(2) 最小値は $x = 2$ のときにとります。

$y(2) = a(2-2)^2 - 4a + 2 = -4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

[3]

$y = x^2$ を平行移動したグラフは $y = (x-p)^2 + q$ と表せます。

(2, 3) を通るので、 $3 = (2-p)^2 + q$

(5, 0) を通るので、 $0 = (5-p)^2 + q$

$q = -(5-p)^2$ を代入すると、

$3 = (2-p)^2 - (5-p)^2 = 4 - 4p + p^2 - (25 - 10p + p^2) = 4 - 4p - 25 + 10p = 6p - 21$

$6p = 24$

$p = 4$

$q = -(5-4)^2 = -1$

したがって、 $y = (x-4)^2 - 1 = x^2 - 8x + 16 - 1 = x^2 - 8x + 15$

3. 最終的な答え

[1]

(1) 頂点: (-6, 19), 軸: x = -6

(2) x = 2 で最大値 3, x = 8 で最小値 -30

[2]

(1) a = 1

(2) a = 2

[3]

y = x^2 - 8x + 15