2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

## 問題の解答

### [4] 2次方程式の問題

1. **問題の内容**

2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. **解き方の手順**

2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D > 0$ となることです。判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で計算されます。

この問題では、$a = 1$, $b = m+1$, $c = 3m-2$ なので、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = (m+1)^2 - 4(1)(3m-2)$

$D = m^2 + 2m + 1 - 12m + 8$

$D = m^2 - 10m + 9$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ が必要なので、

$m^2 - 10m + 9 > 0$

$(m-1)(m-9) > 0$

したがって、$m < 1$ または $9 < m$ となります。

3. **最終的な答え**

$m < 1, 9 < m$

### [5] 2次不等式の問題

1. **問題の内容**

2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ を解き、選択肢から適切なものを選ぶ問題です。

2. **解き方の手順**

まず、与えられた不等式を因数分解します。

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

したがって、$(x-3)^2 > 0$ となります。

$(x-3)^2$ は常に0以上であり、$x=3$ のときのみ0となります。したがって、$(x-3)^2 > 0$ を満たすのは、$x \neq 3$ のときです。

これは、「$x=3$以外のすべての実数」に対応します。

3. **最終的な答え**

選択肢②

### [6] 2次関数の問題

1. **問題の内容**

2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める問題です。

2. **解き方の手順**

グラフが $x$ 軸と接するとき、2次方程式 $x^2 + 2mx - 2m - 1 = 0$ は重解を持ちます。つまり、判別式 $D = 0$ となります。

$D = (2m)^2 - 4(1)(-2m - 1)$

$D = 4m^2 + 8m + 4$

$D = 4(m^2 + 2m + 1)$

$D = 4(m+1)^2$

$D = 0$ となるのは、$m+1 = 0$ のときなので、$m = -1$ です。

このとき、2次方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x-1)^2 = 0$ と因数分解できます。したがって、$x = 1$ が重解です。

接点の $x$ 座標は $1$ であり、$x$ 軸との接点なので $y$ 座標は $0$ です。したがって、接点の座標は $(1, 0)$ です。

3. **最終的な答え**

$m = -1$

接点の座標は $(1, 0)$

### [7] 2次方程式の問題

1. **問題の内容**

2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. **解き方の手順**

2次方程式が正の解と負の解を持つための条件は、$f(0) < 0$ であることです。

ここで、$f(x) = x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3$ です。

$f(0) = (0)^2 - 3(m-1)(0) + 2m + 3$

$f(0) = 2m + 3$

したがって、$2m + 3 < 0$ である必要があります。

$2m < -3$

$m < -\frac{3}{2}$

3. **最終的な答え**

$m < -\frac{3}{2}$