与えられた数列の和を求める問題です。 $ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10} $

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$

2. 解き方の手順

この数列は、部分分数分解を利用して解くことができます。各項を以下のように分解します。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

したがって、与えられた数列は以下のように書き換えることができます。

$(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$

この式を見ると、隣り合う項が互いに打ち消しあうことがわかります。具体的には、$-\frac{1}{2}$と$\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$と$\frac{1}{3}$、というように、多くの項が打ち消しあって消えます。結果として、最初の項の$\frac{1}{1}$と、最後の項の$-\frac{1}{10}$だけが残ります。

$1 - \frac{1}{10}$

これを計算します。

$1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{10}$