二次関数 $y = -x^2 + 3x + 2$ の、$0 \leq x \leq 1$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 + 3x + 2$ の、$0 \leq x \leq 1$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 3x + 2$

$y = -(x^2 - 3x) + 2$

$y = -\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} + 2$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} + \frac{8}{4}$

$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{17}{4}$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{4}\right)$です。上に凸な放物線です。

次に、定義域 $0 \leq x \leq 1$ における最大値と最小値を考えます。頂点のx座標は $\frac{3}{2}$ であり、これは定義域の外にあります。

$x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 3(0) + 2 = 2$

$x = 1$ のとき、$y = -1^2 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$

$x$ が定義域内で大きくなるにつれて、$y$ は増加するので、$x=1$のとき最大値となります。また、$x=0$のとき最小値となります。

3. 最終的な答え

最大値：4

最小値：2