$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第2象限の角であるとき、$\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\beta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$ は第1象限の角、$\beta$ は第2象限の角であるとき、$\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\beta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos(\alpha - \beta)$ の加法定理は以下の通りです。

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

まず、$\cos\alpha$ の値を求めます。$\alpha$ は第1象限の角なので、$\cos\alpha > 0$ です。

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

次に、$\sin\beta$ の値を求めます。$\beta$ は第2象限の角なので、$\sin\beta > 0$ です。

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (-\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\sin\beta = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos(\alpha - \beta)$ にそれぞれの値を代入します。

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) + \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$= -\frac{4\sqrt{5}}{25} + \frac{6\sqrt{5}}{25} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha - \beta) = \frac{2\sqrt{5}}{25}$