$0 < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$ の値を求めます。$\sin 2\alpha$ は分数で表され、分子を「アイ」、分母を「ウエ」とします。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$ の値を求めます。$\sin 2\alpha$ は分数で表され、分子を「アイ」、分母を「ウエ」とします。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ という三角関数の基本的な公式を使います。$\cos \alpha = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$\sin^2 \alpha + (\frac{4}{5})^2 = 1$

$\sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1$

$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$

ここで、$0 < \alpha < \pi$ という条件から、$\sin \alpha > 0$ であることがわかります。したがって、$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ です。

次に、$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ という倍角の公式を使います。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ と $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25}$

したがって、$\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$ です。

3. 最終的な答え

アイ = 24

ウエ = 25