複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、以下の3つの複素数がそれぞれ点 $z$ をどのように移動させた点であるかを答える。 (1) $\frac{1+i}{\sqrt{2}}z$ (2) $(\sqrt{3}+i)z$ (3) $-iz$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、以下の3つの複素数がそれぞれ点 $z$ をどのように移動させた点であるかを答える。

(1) $\frac{1+i}{\sqrt{2}}z$

(2) $(\sqrt{3}+i)z$

(3) $-iz$

2. 解き方の手順

複素数 $w$ を掛けることは、原点を中心とする回転と拡大・縮小を意味する。

$w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ のとき、$wz$ は $z$ を原点中心に $\theta$ 回転し、$r$ 倍した点である。

(1) $\frac{1+i}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$ より、これは点 $z$ を原点中心に $\frac{\pi}{4}$ 回転させる変換である。絶対値は1なので、拡大・縮小は起こらない。

(2) $\sqrt{3}+i = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ より、これは点 $z$ を原点中心に $\frac{\pi}{6}$ 回転させ、2倍に拡大する変換である。

(3) $-i = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})$ より、これは点 $z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{2}$ 回転させる変換である。絶対値は1なので、拡大・縮小は起こらない。

3. 最終的な答え

(1) 原点中心に $\frac{\pi}{4}$ 回転

(2) 原点中心に $\frac{\pi}{6}$ 回転し、2倍に拡大

(3) 原点中心に $-\frac{\pi}{2}$ 回転