$\theta$ は鋭角であり、$\cos \theta = \frac{1}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\cos \theta = \frac{1}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を使って、$\sin \theta$ の値を求めます。

$\sin^2 \theta + (\frac{1}{5})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{25} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{25}$

$\sin^2 \theta = \frac{24}{25}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{24}{25}}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$ であるから、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を使って、$\tan \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \times 5 = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan \theta = 2\sqrt{6}$