三角形ABCにおいて、角Aが60度、角Bが45度、辺ACの長さが$\sqrt{6}$であるとき、辺BCの長さ $a$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aが60度、角Bが45度、辺ACの長さが$\sqrt{6}$であるとき、辺BCの長さ $a$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を使用します。正弦定理とは、三角形の各辺の長さとその対角のサインの比が等しいというものです。

正弦定理は次のように表されます。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

この問題では、$a$（辺BC）、$A$（角A）、$b$（辺AC）、$B$（角B）が与えられています。したがって、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

に値を代入します。

$A = 60^{\circ}$, $B = 45^{\circ}$, $b = \sqrt{6}$ なので、

$$\frac{a}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ}}$$

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

これを整理すると、

$$a = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \times \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{18}}{2\sqrt{2}} = \frac{2 \times 3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 3$$

3. 最終的な答え

$a = 3$