$\| \vec{a} \| = 1$, $\| \vec{b} \| = 2$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $135^\circ$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。

## 問題 3

1. 問題の内容

$\| \vec{a} \| = 1$, $\| \vec{b} \| = 2$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $135^\circ$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \| \vec{a} \| \| \vec{b} \| \cos \theta$ を用いる。

ここで $\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角である。

$\| \vec{a} \| = 1$, $\| \vec{b} \| = 2$, $\theta = 135^\circ$ を代入すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \cos 135^\circ$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{2}$

## 問題 4

1. 問題の内容

$\| \vec{a} \| = 1$, $\| \vec{b} \| = 2$ であり、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ のとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \| \vec{a} \| \| \vec{b} \| \cos \theta$ を用いる。

$\| \vec{a} \| = 1$, $\| \vec{b} \| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ を代入すると、

$-1 = 1 \cdot 2 \cdot \cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ の範囲で $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{2}{3}\pi$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}\pi$

## 問題 5

1. 問題の内容

$\| \vec{a} \| = 3$, $\| \vec{b} \| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ のとき、$\| \vec{a} + 2\vec{b} \|$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

$\| \vec{a} + 2\vec{b} \|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})$ を計算する。

$\| \vec{a} + 2\vec{b} \|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = \| \vec{a} \|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4\| \vec{b} \|^2$

$\| \vec{a} \| = 3$, $\| \vec{b} \| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ を代入すると、

$\| \vec{a} + 2\vec{b} \|^2 = 3^2 + 4(-1) + 4(2^2) = 9 - 4 + 16 = 21$

$\| \vec{a} + 2\vec{b} \| = \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{21}$