(1) 2点$(-3, 0)$, $(5, 0)$を通り、頂点が直線$y = 2x + 6$上にある放物線の頂点の座標を求めます。

1. 問題の内容

(1) 2点$(-3, 0)$, $(5, 0)$を通り、頂点が直線$y = 2x + 6$上にある放物線の頂点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2点$(-3, 0)$と$(5, 0)$を通る放物線は、軸が$x = \frac{-3 + 5}{2} = 1$となることがわかります。したがって、放物線の頂点の$x$座標は$1$です。

頂点は直線$y = 2x + 6$上にあるので、頂点の$y$座標は$y = 2(1) + 6 = 8$となります。

したがって、頂点の座標は$(1, 8)$です。

放物線は頂点の座標$(1,8)$をもち、点$(-3,0)$を通ることから、

$y = a(x-1)^2 + 8$とおけます。

点$(-3,0)$を通るので、$0 = a(-3-1)^2 + 8$が成り立ちます。

$0 = 16a + 8$

$16a = -8$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、放物線は$y = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + 8$となります。

点$(5, 0)$も通ることを確認します。

$y = -\frac{1}{2}(5-1)^2 + 8 = -\frac{1}{2}(16) + 8 = -8 + 8 = 0$

確かに点$(5, 0)$も通ります。

したがって、頂点の座標は$(1, 8)$です。

3. 最終的な答え

(1, 8)