ベクトル $\vec{a}$ の大きさが3、ベクトル $\vec{b}$ の大きさが3、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が120°のとき、ベクトル $\vec{a} + 2\vec{b}$ の大きさを求める。

## 問題6

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ の大きさが3、ベクトル $\vec{b}$ の大きさが3、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が120°のとき、ベクトル $\vec{a} + 2\vec{b}$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a} + 2\vec{b}$ の大きさの2乗を計算し、平方根を取ることで大きさを求める。

まず、$\vec{a} + 2\vec{b}$ の大きさの2乗は、

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b})$

と表される。

これを展開すると、

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b})$

となる。

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ であり、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ である。

ここで、$\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角である。

問題文より $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 3$, $\theta = 120^\circ$ なので、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3 \cdot \cos{120^\circ} = 9 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{9}{2}$

したがって、

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 3^2 + 4 \cdot (-\frac{9}{2}) + 4 \cdot 3^2 = 9 - 18 + 36 = 27$

よって、 $|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{3}$

## 問題7

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ の大きさが2、ベクトル $\vec{b}$ の大きさが $2\sqrt{2}$ で、$3\vec{a}+2\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

$3\vec{a}+2\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であるとき、$(3\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 0$ が成り立つ。

$(3\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 3(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$

$3|\vec{a}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ より、

$3|\vec{a}|^2 - |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} - 2|\vec{b}|^2 = 0$

問題文より $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$ なので、

$3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cos{\theta} - 2 \cdot (2\sqrt{2})^2 = 0$

$12 - 4\sqrt{2} \cos{\theta} - 16 = 0$

$-4 - 4\sqrt{2} \cos{\theta} = 0$

$4\sqrt{2} \cos{\theta} = -4$

$\cos{\theta} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \frac{3}{4}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}\pi$