$xy$平面において、原点$O$, 点$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$, 点$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$を隣接頂点とする平行四辺形の面積を求めます。ただし、$a$は$y$軸と平行ではないとします。 (1) 点$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$について、これらをそれぞれ$a, e_2$の線形和で表します。 (2) 任意の点$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して、これを点$e_1, e_2$の線形和で表します。 (3) (1), (2)の結果から、任意の点$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して点$p(v), q(v)$の座標を求めます。 (4) (3)の結果を行列と数ベクトルを用いて記します。 (5) (3)の結果からこの平行四辺形の面積を求めます。 (6) (4)の結果の2つの行列および単位行列について、それらの和とスカラー倍が満たす非自明な等式を挙げます。

1. 問題の内容

$xy$平面において、原点$O$, 点$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$, 点$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$を隣接頂点とする平行四辺形の面積を求めます。ただし、$a$は$y$軸と平行ではないとします。

(1) 点$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$について、これらをそれぞれ$a, e_2$の線形和で表します。

(2) 任意の点$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して、これを点$e_1, e_2$の線形和で表します。

(3) (1), (2)の結果から、任意の点$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して点$p(v), q(v)$の座標を求めます。

(4) (3)の結果を行列と数ベクトルを用いて記します。

(5) (3)の結果からこの平行四辺形の面積を求めます。

(6) (4)の結果の2つの行列および単位行列について、それらの和とスカラー倍が満たす非自明な等式を挙げます。

2. 解き方の手順

(1)

$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ と $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形和で表すと、

$e_1 = \alpha a + \beta e_2$となる$\alpha, \beta$を求めればよい。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha a_1 \\ \alpha a_2 + \beta \end{pmatrix}$

したがって、

$\alpha a_1 = 1$ より $\alpha = \frac{1}{a_1}$

$\alpha a_2 + \beta = 0$ より $\beta = -\alpha a_2 = -\frac{a_2}{a_1}$

よって、$e_1 = \frac{1}{a_1} a - \frac{a_2}{a_1} e_2$

$e_2$は $a, e_2$ の線形和で表すと $e_2 = 0a + 1e_2$.

(2)

任意の点 $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形和で表すと、

$v = xe_1 + ye_2$

(3)

点$v$を通って$a$と平行な直線は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ t \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$

と表せる。

$x = s a_1$より、$s = \frac{x}{a_1}$

$y = t + s a_2$より、$t = y - s a_2 = y - \frac{x}{a_1} a_2 = y - \frac{a_2}{a_1}x$.

したがって、$p(v) = \begin{pmatrix} 0 \\ y - \frac{a_2}{a_1}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{a_2}{a_1}x + y \end{pmatrix}$.

$p(v)$の座標は、$p(v) = (-\frac{a_2}{a_1}x + y) e_2 = (y - \frac{a_2}{a_1}x) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$で表せる。これは線形結合である。

点$v$を通って$y$軸と平行な直線は$x=x$である。

$a$を延長した直線は、$a_2/a_1 x$

$x=x$ より、$q(v)$ の$x$座標は$x$、$q(v)$ の$y$座標は$\frac{a_2}{a_1}x$.

したがって、$q(v) = \begin{pmatrix} x \\ \frac{a_2}{a_1}x \end{pmatrix}$.

$q(v) = x e_1 + \frac{a_2}{a_1}x e_2 = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{a_2}{a_1}x \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$で表せる。これは線形結合である。

(4)

$p(v) = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{a_2}{a_1}x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$q(v) = \begin{pmatrix} x \\ \frac{a_2}{a_1}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}, Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$

(5)

平行四辺形の面積は$|a_1 b_2 - a_2 b_1|$

$p(a) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{a_2}{a_1}a_1 + a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$q(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ \frac{a_2}{a_1}a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$

$p(b) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{a_2}{a_1}b_1 + b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ b_2 - \frac{a_2}{a_1}b_1 \end{pmatrix}$

$q(b) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \frac{a_2}{a_1}b_1 \end{pmatrix}$

平行四辺形の面積は$|a_1b_2 - a_2b_1|$

(6)

$P+Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

$P+Q=I$ は非自明な等式であり、この図形的な意味は、変換 $p$ と $q$ を合成すると恒等変換になることを意味します。

3. 最終的な答え

(1) $e_1 = \frac{1}{a_1} a - \frac{a_2}{a_1} e_2$, $e_2 = e_2$

(2) $v = xe_1 + ye_2$

(3) $p(v) = \begin{pmatrix} 0 \\ y - \frac{a_2}{a_1}x \end{pmatrix}$, $q(v) = \begin{pmatrix} x \\ \frac{a_2}{a_1}x \end{pmatrix}$

(4) $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}, Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$

(5) $|a_1b_2 - a_2b_1|$

(6) $P+Q=I$