$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ と $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ であるから、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -2\sqrt{2}$ となります。

よって、$\sin \theta = -2\sqrt{2} \cos \theta$ と表せます。

これを $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入します。

$(-2\sqrt{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$8 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{3}$

次に、$\theta$ の範囲が $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であることを考慮します。

$\tan \theta = -2\sqrt{2} < 0$ なので、$\theta$ は第2象限の角であり、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ です。

したがって、$\cos \theta < 0$ となります。

よって、$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ が正しいです。

$\sin \theta = -2\sqrt{2} \cos \theta$ に $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin \theta = -2\sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となります。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で $\sin \theta \ge 0$ なので、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ は正しいです。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$