$\theta$ が鋭角で、$\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で、$\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係を利用して $\cos\theta$ を求める。$\theta$ が鋭角なので、$\cos\theta > 0$ である。

$\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ を代入して、

$$\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$$

$$\frac{5}{9} + \cos^2\theta = 1$$

$$\cos^2\theta = 1 - \frac{5}{9}$$

$$\cos^2\theta = \frac{4}{9}$$

$\cos\theta > 0$ なので、

$$\cos\theta = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$

次に、$\tan\theta$ を $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の関係を使って求める。

$$\tan\theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

3. 最終的な答え

$\cos\theta = \frac{2}{3}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$