$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 5$であるとき、以下の問題を解く。 (1) $|3\vec{a} + \vec{b}| = 7$のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求める。 (2) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$120^\circ$のとき、$|2\vec{a} - \vec{b}|$を求める。 (3) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$120^\circ$のとき、$2\vec{a} - \vec{b}$と$\vec{a} + s\vec{b}$が垂直になるような$s$の値を求める。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 5$であるとき、以下の問題を解く。

(1) $|3\vec{a} + \vec{b}| = 7$のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求める。

(2) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$120^\circ$のとき、$|2\vec{a} - \vec{b}|$を求める。

(3) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$120^\circ$のとき、$2\vec{a} - \vec{b}$と$\vec{a} + s\vec{b}$が垂直になるような$s$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|3\vec{a} + \vec{b}| = 7$の両辺を2乗すると、

$|3\vec{a} + \vec{b}|^2 = 7^2$

$(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (3\vec{a} + \vec{b}) = 49$

$9|\vec{a}|^2 + 6\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 49$

$9(1)^2 + 6|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + (5)^2 = 49$

$9 + 6(1)(5)\cos\theta + 25 = 49$

$30\cos\theta = 49 - 9 - 25 = 15$

$\cos\theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = 60^\circ$

(2) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角が$120^\circ$なので、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(120^\circ) = (1)(5)(-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2}$

$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 4(1)^2 - 4(-\frac{5}{2}) + (5)^2 = 4 + 10 + 25 = 39$

したがって、

$|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{39}$

(3) $2\vec{a} - \vec{b}$と$\vec{a} + s\vec{b}$が垂直なので、

$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + s\vec{b}) = 0$

$2|\vec{a}|^2 + 2s\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} - s|\vec{b}|^2 = 0$

$2(1)^2 + 2s(-\frac{5}{2}) - (-\frac{5}{2}) - s(5)^2 = 0$

$2 - 5s + \frac{5}{2} - 25s = 0$

$\frac{9}{2} - 30s = 0$

$30s = \frac{9}{2}$

$s = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{30} = \frac{3}{20}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ$

(2) $|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{39}$

(3) $s = \frac{3}{20}$