三角形ABCにおいて、$a=6$, $c=3\sqrt{2}$, $A=135^\circ$であるとき、角Cの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=6$, $c=3\sqrt{2}$, $A=135^\circ$であるとき、角Cの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を用いて $\sin C$ の値を求める。正弦定理は、三角形の辺の長さと対角の正弦の比が一定であるという定理で、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ と表される。

この式に与えられた値を代入すると、

$\frac{6}{\sin 135^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

$\frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

$12\sin C = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$12\sin C = 6$

$\sin C = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$\sin C = \frac{1}{2}$ となる角度Cを求める。$0^\circ < C < 180^\circ$ の範囲で $\sin C = \frac{1}{2}$ となるのは、$C=30^\circ$または$C=150^\circ$。

ここで、$A = 135^\circ$であるので、$A+C < 180^\circ$でなければならない。

もし$C=150^\circ$とすると、$A+C = 135^\circ + 150^\circ = 285^\circ$となり、$180^\circ$を超えるため不適。

したがって、$C=30^\circ$。

3. 最終的な答え

$C = 30^\circ$