与えられた二つの3次式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$ (2) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$

1. 問題の内容

与えられた二つの3次式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 5x^2 - 4x + 20$

(2) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$

2. 解き方の手順

(1)

まず、2項ずつまとめて共通因数でくくり出すことを試みます。

$x^2$で最初の2項をくくり、$(-4)$で最後の2項をくくると、

$x^2(x - 5) - 4(x - 5)$

$(x - 5)$が共通因数なので、くくり出すと、

$(x-5)(x^2 - 4)$

さらに、$x^2 - 4$は差の平方の公式を使って因数分解できます。

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

よって、

$(x-5)(x^2 - 4) = (x-5)(x-2)(x+2)$

(2)

因数定理を利用します。$x$に値を代入して式が0になるような$x$を見つけます。

$x = 1$を代入すると $1 - 3 + 6 - 8 = -4 \neq 0$

$x = 2$を代入すると $8 - 12 + 12 - 8 = 0$

したがって、$x-2$を因数に持つことがわかります。

組み立て除法を使って、$x^3 - 3x^2 + 6x - 8$を$x-2$で割ります。

```

1 -3 6 -8

2 | 1 -1 4 0

2 -2 8

-----------

1 -1 4

```

よって、$x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x-2)(x^2 - x + 4)$

$x^2 - x + 4$は判別式$D = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 < 0$なので、これ以上実数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 5)(x - 2)(x + 2)$

(2) $(x - 2)(x^2 - x + 4)$