三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=\sqrt{13}$, $c=1$のとき、角Bの値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=\sqrt{13}$, $c=1$のとき、角Bの値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて角Bの余弦を求める。余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$

$\cos{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

与えられた値を代入すると、

$\cos{B} = \frac{3^2 + 1^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot 3 \cdot 1}$

$\cos{B} = \frac{9 + 1 - 13}{6}$

$\cos{B} = \frac{-3}{6}$

$\cos{B} = -\frac{1}{2}$

$0^\circ < B < 180^\circ$の範囲で、$\cos{B} = -\frac{1}{2}$を満たすBの値を求める。

$B = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$B = 120^\circ$