3辺の長さが $x$, $x+7$, $3x-8$ である三角形が存在するような $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3辺の長さが $x$, $x+7$, $3x-8$ である三角形が存在するような $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角形の成立条件は、「任意の2辺の長さの和が、残りの1辺の長さより大きい」ことです。したがって、以下の3つの不等式が成り立つ必要があります。

(1) $x + (x + 7) > 3x - 8$

(2) $x + (3x - 8) > x + 7$

(3) $(x + 7) + (3x - 8) > x$

まず、(1) の不等式を解きます。

$2x + 7 > 3x - 8$

$15 > x$

$x < 15$

次に、(2) の不等式を解きます。

$4x - 8 > x + 7$

$3x > 15$

$x > 5$

最後に、(3) の不等式を解きます。

$4x - 1 > x$

$3x > 1$

$x > \frac{1}{3}$

さらに、$x > 0$, $x+7>0$, $3x-8>0$ である必要があるため、$x > \frac{8}{3}$ が必要です。

以上より、$x$ の範囲は $x > 5$ かつ $x < 15$ かつ $x > \frac{8}{3}$ を満たす必要があります。$\frac{8}{3} = 2.666\ldots$ なので、$x > \frac{8}{3}$ は $x > 5$ より緩い条件です。

したがって、$5 < x < 15$ となります。

3. 最終的な答え

$5 < x < 15$