図において、角$\theta$の大きさを求める問題です。図には、角度が$33^\circ$と$27^\circ$で示されている三角形と、円が描かれています。$\theta$は円に内接する三角形の一つの角です。底辺は円の直径となっています。

1. 問題の内容

図において、角$\theta$の大きさを求める問題です。図には、角度が$33^\circ$と$27^\circ$で示されている三角形と、円が描かれています。$\theta$は円に内接する三角形の一つの角です。底辺は円の直径となっています。

2. 解き方の手順

* 円の直径に対する円周角は$90^\circ$であることから、$\theta$を含む三角形は直角三角形であることがわかります。

* 外側の大きな三角形の角度を考えます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\theta$を含む直角三角形の斜辺を共有する三角形の頂点の角度は$33^\circ + 27^\circ = 60^\circ$です。

* この三角形において、残りの一つの角は、円の中心角に対する円周角の関係から、$\theta$を使って表すことができます。円の中心をOとし、$\theta$を含む三角形の$\theta$でないもう一方の頂点をA、27°の角の頂点をB、33°の角の頂点をCとします。OABは二等辺三角形となるので、$\angle OBA = \angle OAB = \theta$です。$\angle AOB = 180^\circ - 2\theta$となります。

* $\angle AOB$の円周角は$\angle ACB$なので、$\angle ACB = (180^\circ - 2\theta)/2 = 90^\circ - \theta$となります。

* 大きな三角形ABCにおいて、内角の和は$180^\circ$なので、以下の式が成り立ちます。

$\theta + (90^\circ - \theta) + 33^\circ + 27^\circ = 180^\circ$

$60^\circ + \theta + 27^\circ = 90^\circ + 27^\circ+33^\circ$

* 円の直径に対する円周角が$90^\circ$である直角三角形の、斜辺を共有する三角形の残りの角をxとすると、大きな三角形の３つの内角は、$33^\circ + 27^\circ = 60^\circ$, $\theta$, $90^\circ - x$となります。

$\theta$ + 27 + 33 = $\theta$ +60, 残りの角をXとおくと、$\theta$ + $X$ = 90より、$X=90-\theta$なので、

$27+33$の角の円周角は、$(180-(27+33))/2 = (180-60)/2 = 120/2 = 60$

* 円に内接する四角形の対角の和は180度なので、 $\theta + 27 +33 = 180 - 90 = 90$

$\theta = 90 - 60 = 30$

3. 最終的な答え

30