原点をOとする座標平面上に、点A(4,0), B(4,4), C(0,4), M(2,0), N(2,4)がある。3つの動点P(a,b), Q(a+4, b-2), R(a+4, b+2)があり、点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に、毎秒1の速さで動く。点Pが出発して$t$秒後において、正方形OABCと$\triangle PQR$の共通部分の面積を$S(t)$とする。ただし、$0 \le t \le 8$である。$t=0$のとき、点Rが正方形OABCのどこにあるか、および$S(0)$、$S(1)$の値を求める。

1. 問題の内容

原点をOとする座標平面上に、点A(4,0), B(4,4), C(0,4), M(2,0), N(2,4)がある。3つの動点P(a,b), Q(a+4, b-2), R(a+4, b+2)があり、点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に、毎秒1の速さで動く。点Pが出発して$t$秒後において、正方形OABCと$\triangle PQR$の共通部分の面積を$S(t)$とする。ただし、$0 \le t \le 8$である。$t=0$のとき、点Rが正方形OABCのどこにあるか、および$S(0)$、$S(1)$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t=0$のとき、点Pは原点O(0,0)にある。

したがって、点Rの座標は(0+4, 0+2) = (4,2)となる。

点R(4,2)は正方形OABCの周上にある。なぜならば、点Rのx座標は4であり、y座標は0から4の間にあるからである。

したがって、アは②(周上)である。

$t=0$のとき、点P(0,0), Q(4,-2), R(4,2)である。

$\triangle PQR$はP(0,0), Q(4,-2), R(4,2)を頂点とする三角形である。

正方形OABCと$\triangle PQR$の共通部分は、$\triangle PAR$になる。

$\triangle PAR$の面積は、底辺PAの長さを4、高さを2とすると、

$S(0) = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$となる。

したがって、イは4である。

(2) $t=1$のとき、点PはOからMへ移動し、P(1,0)となる。

点Qの座標は(1+4, 0-2) = (5,-2)となる。

点Rの座標は(1+4, 0+2) = (5,2)となる。

正方形OABCと$\triangle PQR$の共通部分は、台形となる。

台形の頂点は(1,0), (4,0), (4,2), (5,2)である。ただし、点(5,2)は正方形OABCの外にあるので、交点は(4, y)になる。

直線PRの方程式を求める。

P(1,0), R(5,2)を通る直線の傾きは、$\frac{2-0}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

直線PRの方程式は、$y = \frac{1}{2}(x-1)$

x=4のとき、$y = \frac{1}{2}(4-1) = \frac{3}{2}$

共通部分は、点(1,0), (4,0), (4, $\frac{3}{2}$), (1,0)を結ぶ図形になる。

台形の面積は、$\frac{1}{2} \times (3 + \frac{3}{2}) \times (4-1) = \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$となる。

したがって、$S(1) = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: 4

ウ: 27

エ: 4

$S(1) = \frac{27}{4}$