問題は、座標平面上に長方形OMNCと三角形PQRがあり、点PがOからCまで移動するときに、正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積S(t)について考察する問題です。S(0)の値や、S(t)の最小値、S(t)が一定となる条件などを求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、座標平面上に長方形OMNCと三角形PQRがあり、点PがOからCまで移動するときに、正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積S(t)について考察する問題です。S(0)の値や、S(t)の最小値、S(t)が一定となる条件などを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) t=0のとき、点PはOにいる。R(0,4.5)なので、Rは正方形OABCの外部にある。よってアは③。S(0)は、OABCと三角形OQRの共通部分の面積となる。

Q(0, 4, -2), R(0, 4.5)なので、QRのy軸との交点は(0,4)。したがってS(0) = 0。イは0。

(2) 0≤t≤3のとき、点PはOM上にある。P(t, 0), Q(t, 4, t-2), R(0, 4.5)

線分QRの方程式は $y = -0.5x + 4.5$。

線分PRの方程式は $y = \frac{4.5}{t}x$。

線分PQの方程式は $y = \frac{4-0}{t-t} = undefined$, なのでP(t,0), Q(t,4)より、PQはx=t。

三角形PQRにおいて、PからQRに垂線を下ろしたとき交点をHとすると、PH=4、よって三角形PQRの面積は$0.5 * 4 * (4.5 - (t-2)) = 2(6.5 - t) = 13-2t$。

一方、正方形OABCの面積は16である。

三角形PQRと正方形OABCが重なる部分の面積S(t)は、

O≦t≦2のとき $S(t)=0.5 * 4 * t = 2t$

2≦t≦3のとき、$S(t)=0.5 * 4 * (3 - t) = 2(3-t)$

S(t)を求める：

0 ≦ t ≦ 2のとき、$S(t) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot t = 2t$。よって、キ=2。

2 ≦ t ≦ 3のとき、$S(t) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3-t) = 6-2t$。よって、ケ=6。

したがって、オ=2、カ=t, キ=2, ク=6, ケ=-2t。

$S(t)$が最小値をとるのは$t=0$のときで、$S(0)=0$。よって、サ=0。

(3) $3 < t \leq 8$のとき、 $S(t) = 4$となる場合を考える。

$3 < t \leq 8$のとき、PはMC上かCN上にある。P(2, t-3)。

もし$S(t) = 4$であればS(t)の値は一定。

このとき、異なるtの値が4個存在する条件を求める。

(4) S(t) = 4 (一定数)となるような異なるtの値が4個だけ存在する条件を考察する。

4個のtの値の和を求める。

3. 最終的な答え

ア：③

イ：0

オ：2

カ：t

キ：2

ク：6

ケ：-2t

サ：0

セ：一定

ソ：4

タ：t

チ：テ

テ：ソ

ト：4