数列 $a_k = 25 - 4k$ の和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} (25-4k)$ を考えるとき、$S_n$ が最大となる $n$ の値と、そのときの最大値を求める。

1. 問題の内容

数列 $a_k = 25 - 4k$ の和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} (25-4k)$ を考えるとき、$S_n$ が最大となる $n$ の値と、そのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

$a_k = 25 - 4k$ で与えられる数列の和 $S_n$ を計算し、$S_n$ が最大になる $n$ を求めます。

まず、$S_n$ を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (25-4k) = \sum_{k=1}^{n} 25 - 4\sum_{k=1}^{n} k = 25n - 4\frac{n(n+1)}{2} = 25n - 2n(n+1) = 25n - 2n^2 - 2n = -2n^2 + 23n$

$S_n$ は $n$ の二次関数であり、$n$ に関して上に凸の放物線であるため、頂点で最大値をとります。頂点の $n$ 座標は、

$n = -\frac{23}{2(-2)} = \frac{23}{4} = 5.75$

$n$ は整数なので、$S_n$ を最大にする $n$ は 5 または 6 です。

$S_5 = -2(5^2) + 23(5) = -50 + 115 = 65$

$S_6 = -2(6^2) + 23(6) = -72 + 138 = 66$

$S_7 = -2(7^2) + 23(7) = -98 + 161 = 63$

したがって、$S_n$ が最大となるのは $n=6$ のときで、その最大値は 66 です。

3. 最終的な答え

$n=6$ のとき、$S_n$ は最大値66をとる。