3次方程式 $x^3 + 27 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 27 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + 27 = 0$ を因数分解します。

$27 = 3^3$ であることを利用して、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を適用します。

この場合、$a = x$、$b = 3$ なので、

$x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9) = 0$

したがって、$x+3 = 0$ または $x^2 - 3x + 9 = 0$ となります。

$x+3 = 0$ の解は $x = -3$ です。

$x^2 - 3x + 9 = 0$ の解は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて求めます。

この場合、$a=1$、$b=-3$、$c=9$ なので、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-27}}{2}$

$x = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

3. 最終的な答え

$x = -3, \frac{3 + 3\sqrt{3}i}{2}, \frac{3 - 3\sqrt{3}i}{2}$

または

$x = -3, \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i, \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$