次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1)と(3)を解きます。

**(1) の問題**

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}$

2. 解き方の手順

この問題は、等差数列と等比数列の積の和を求める問題です。

以下の手順で解きます。

(1) 両辺に5を掛けます。

$5S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \cdots + (n-1) \cdot 5^{n-1} + n \cdot 5^n$

(2) $S$ から $5S$ を引きます。

$S - 5S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}) - (1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^n)$

$-4S = 1 + (2-1) \cdot 5 + (3-2) \cdot 5^2 + (4-3) \cdot 5^3 + \cdots + (n-(n-1)) \cdot 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

$-4S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

(3) 等比数列の和の公式を使います。

$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{n-1} = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5-1} = \frac{5^n - 1}{4}$

(4) $-4S$ を整理します。

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n + 1$

$-4S = \frac{5^n - 1 - 4n \cdot 5^n + 4}{4}$

$-4S = \frac{(1 - 4n)5^n + 3}{4}$

$S = \frac{(4n - 1)5^n - 3}{16}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(4n - 1)5^n - 3}{16}$

**(3) の問題**

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \cdots + (3n-2)x^{n-1}$

2. 解き方の手順

この問題も、等差数列と等比数列の積の和を求める問題です。

以下の手順で解きます。

(1) 両辺に $x$ を掛けます。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \cdots + (3n-2)x^{n}$

(2) $S$ から $xS$ を引きます。

$S - xS = (1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \cdots + (3n-2)x^{n-1}) - (x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \cdots + (3n-2)x^{n})$

$(1-x)S = 1 + (4-1)x + (7-4)x^2 + (10-7)x^3 + \cdots + (3n-2 - (3n-5))x^{n-1} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

(3) 等比数列の和の公式を使います。

$3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots + 3x^{n-1} = 3x(1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-2}) = 3x \cdot \frac{1-x^{n-1}}{1-x}$

(4) $(1-x)S$ を整理します。

$(1-x)S = 1 + 3x \cdot \frac{1-x^{n-1}}{1-x} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = \frac{(1-x) + 3x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n(1-x)}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1 - x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1 + 2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$