(1) 2次不等式 $x^2 - (a+3)x + 3a < 0$ を解く。 (2) (1)の不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個だけあるように、定数 $a$ の値の範囲を定める。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $x^2 - (a+3)x + 3a < 0$ を解く。

(2) (1)の不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個だけあるように、定数 $a$ の値の範囲を定める。

2. 解き方の手順

(1) 2次不等式 $x^2 - (a+3)x + 3a < 0$ を解く。

左辺を因数分解すると、$(x-a)(x-3) < 0$ となる。

場合分けをする。

(i) $a < 3$ のとき、$a < x < 3$

(ii) $a > 3$ のとき、$3 < x < a$

(iii) $a = 3$ のとき、$(x-3)^2 < 0$ となり、解なし。

(2) (1)の不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個だけあるように、定数 $a$ の値の範囲を定める。

(i) $a < 3$ のとき、$a < x < 3$ を満たす整数 $x$ が2個。

$x = 1, 2$ のとき、$a < 1$ かつ $2 < 3$ より、$a < x < 3$ を満たす整数 $x$ は2個にならないので不適。

$x = 0, 1$ のとき、$a < 0$ かつ $1 < 3$ となる。

$x = 1, 2$ のとき、$a < 1$ かつ $2 < 3$ となる。

$a < x < 3$ に整数 $x$ が 2個だけ含まれるのは、$0 < a \le 1$ のとき $x = 1, 2$ であり、$1 < a \le 2$ のとき $x=2$ であり、含まれる整数が1個だけになるので不適。

$a < x < 3$ に整数 $x$ が 2個だけ含まれるのは、$-1 < a \le 0$ のとき $x=0,1,2$ になるので不適。

$a < x < 3$ に整数 $x$ が 2個だけ含まれるためには、$3-a>2$が必要。

$3<x<a$のとき、$a-3 > 2$が必要。

-1 < a < 0

0 < a < 1 のとき、x=1,2

1 < a < 2 のとき、x=2

2 < a < 3 のとき、なし

(ii) $a > 3$ のとき、$3 < x < a$ を満たす整数 $x$ が2個。

$a$ の範囲を考える。

$3 < x < a$ に整数が2個だけ含まれるには、$a-3 > 2$ である必要があるので、$a>5$。

整数 $x$ は4, 5 なので、$5 < a \le 6$

3. 最終的な答え

(1) $a < 3$ のとき、$a < x < 3$

$a > 3$ のとき、$3 < x < a$

$a = 3$ のとき、解なし。

(2) $5 < a \le 6$