$x = \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ と $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ と $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{6 - 5} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$

次に、$x + \frac{1}{x}$ を計算します。

$\frac{1}{x} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ なので、

$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{6} + \sqrt{5}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{6}$

したがって、$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{6}$ となります。

最後に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を計算します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

なので、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{6}$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (2\sqrt{6})^2 - 2 = 4 \times 6 - 2 = 24 - 2 = 22$

したがって、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 22$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{6}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 22$