与えられた3つの複素数の計算問題を解きます。 (1) $\frac{2}{1+i}$ (2) $\frac{2+3i}{2-3i}$ (3) $\frac{i}{\sqrt{3}+i}$

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた3つの複素数の計算問題を解きます。

(1) $\frac{2}{1+i}$

(2) $\frac{2+3i}{2-3i}$

(3) $\frac{i}{\sqrt{3}+i}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{2}{1+i}$ の場合、分母の共役複素数を分母と分子にかけます。

分母の共役複素数は $1-i$ なので、

$\frac{2}{1+i} = \frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2(1-i)}{1-i^2} = \frac{2(1-i)}{1-(-1)} = \frac{2(1-i)}{2} = 1-i$

(2) $\frac{2+3i}{2-3i}$ の場合も同様に、分母の共役複素数を分母と分子にかけます。

分母の共役複素数は $2+3i$ なので、

$\frac{2+3i}{2-3i} = \frac{(2+3i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{4 + 12i + 9i^2}{4 - 9i^2} = \frac{4 + 12i - 9}{4 + 9} = \frac{-5 + 12i}{13} = -\frac{5}{13} + \frac{12}{13}i$

(3) $\frac{i}{\sqrt{3}+i}$ の場合も同様に、分母の共役複素数を分母と分子にかけます。

分母の共役複素数は $\sqrt{3}-i$ なので、

$\frac{i}{\sqrt{3}+i} = \frac{i(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} = \frac{i\sqrt{3} - i^2}{3 - i^2} = \frac{i\sqrt{3} + 1}{3 + 1} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i$

3. 最終的な答え

(1) $1 - i$

(2) $-\frac{5}{13} + \frac{12}{13}i$

(3) $\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i$