問題2：第5項が1、第12項が-20である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。 問題3：第3項が12、第6項が96である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

問題2：第5項が1、第12項が-20である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

問題3：第3項が12、第6項が96である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

問題2：等差数列の一般項を求める

* 等差数列の一般項の公式は $a_n = a_1 + (n-1)d$ ( $a_1$は初項、$d$は公差) である。

* 第5項が1であることから、$a_5 = a_1 + 4d = 1$ が成り立つ。

* 第12項が-20であることから、$a_{12} = a_1 + 11d = -20$ が成り立つ。

* この2つの式から $a_1$ と $d$ を求める連立方程式を解く。

$a_1 + 4d = 1$

$a_1 + 11d = -20$

* 2番目の式から1番目の式を引くと、$7d = -21$ より $d = -3$ となる。

* $d = -3$ を $a_1 + 4d = 1$ に代入すると、$a_1 + 4(-3) = 1$ より、$a_1 = 13$ となる。

* したがって、一般項は $a_n = 13 + (n-1)(-3) = 13 - 3n + 3 = 16 - 3n$ である。

問題3：等比数列の一般項を求める

* 等比数列の一般項の公式は $a_n = a_1 r^{n-1}$ ( $a_1$は初項、$r$は公比) である。

* 第3項が12であることから、$a_3 = a_1 r^2 = 12$ が成り立つ。

* 第6項が96であることから、$a_6 = a_1 r^5 = 96$ が成り立つ。

* この2つの式から $a_1$ と $r$ を求める。

$a_1 r^2 = 12$

$a_1 r^5 = 96$

* 2番目の式を1番目の式で割ると、$r^3 = \frac{96}{12} = 8$ より、$r = 2$ となる。

* $r = 2$ を $a_1 r^2 = 12$ に代入すると、$a_1 (2^2) = 12$ より、$4a_1 = 12$ なので、$a_1 = 3$ となる。

* したがって、一般項は $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ である。

3. 最終的な答え

問題2：$a_n = 16 - 3n$

問題3：$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$