$A = 4 + \sqrt{5}$ と $B = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ が与えられています。 $A$ の小数部分を $p$, $B$ の小数部分を $q$ とするとき、$2pq + p + 4q + 2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$A = 4 + \sqrt{5}$ と $B = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ が与えられています。

$A$ の小数部分を $p$, $B$ の小数部分を $q$ とするとき、$2pq + p + 4q + 2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$A$ と $B$ の整数部分を求めます。

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より、$2 < \sqrt{5} < 3$ なので、$4 + 2 < 4 + \sqrt{5} < 4 + 3$、つまり $6 < A < 7$ です。

したがって、$A$ の整数部分は 6 で、$p = A - 6 = 4 + \sqrt{5} - 6 = \sqrt{5} - 2$ です。

次に、$B = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ について、$2 < \sqrt{5} < 3$ より、$3 + 2 < 3 + \sqrt{5} < 3 + 3$、つまり $5 < 3 + \sqrt{5} < 6$ です。

したがって、$\frac{5}{2} < B < \frac{6}{2}$、つまり $2.5 < B < 3$ です。

したがって、$B$ の整数部分は 2 で、$q = B - 2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{3 + \sqrt{5} - 4}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ です。

次に、$2pq + p + 4q + 2$ を計算します。

$2pq + p + 4q + 2 = p(2q + 1) + 2(2q + 1) = (p + 2)(2q + 1)$

$p + 2 = \sqrt{5} - 2 + 2 = \sqrt{5}$

$2q + 1 = 2 \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right) + 1 = \sqrt{5} - 1 + 1 = \sqrt{5}$

したがって、$2pq + p + 4q + 2 = (p + 2)(2q + 1) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

3. 最終的な答え

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