以下の複素数の計算問題を解きます。 (1) $\sqrt{-27} \times \sqrt{-12}$ (2) $\frac{\sqrt{-24}}{\sqrt{-6}}$ (3) $\frac{\sqrt{-75}}{\sqrt{15}}$

1. 問題の内容

以下の複素数の計算問題を解きます。

(1) $\sqrt{-27} \times \sqrt{-12}$

(2) $\frac{\sqrt{-24}}{\sqrt{-6}}$

(3) $\frac{\sqrt{-75}}{\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{-27} \times \sqrt{-12}$ の計算

まず、$\sqrt{-27}$と$\sqrt{-12}$をそれぞれ虚数単位 $i$ を用いて表します。

$\sqrt{-27} = \sqrt{27}i = \sqrt{9 \times 3}i = 3\sqrt{3}i$

$\sqrt{-12} = \sqrt{12}i = \sqrt{4 \times 3}i = 2\sqrt{3}i$

したがって、

$\sqrt{-27} \times \sqrt{-12} = (3\sqrt{3}i) \times (2\sqrt{3}i) = 6 \times 3 \times i^2 = 18 \times (-1) = -18$

(2) $\frac{\sqrt{-24}}{\sqrt{-6}}$ の計算

まず、$\sqrt{-24}$と$\sqrt{-6}$をそれぞれ虚数単位 $i$ を用いて表します。

$\sqrt{-24} = \sqrt{24}i = \sqrt{4 \times 6}i = 2\sqrt{6}i$

$\sqrt{-6} = \sqrt{6}i$

したがって、

$\frac{\sqrt{-24}}{\sqrt{-6}} = \frac{2\sqrt{6}i}{\sqrt{6}i} = 2$

(3) $\frac{\sqrt{-75}}{\sqrt{15}}$ の計算

まず、$\sqrt{-75}$を虚数単位 $i$ を用いて表します。

$\sqrt{-75} = \sqrt{75}i = \sqrt{25 \times 3}i = 5\sqrt{3}i$

したがって、

$\frac{\sqrt{-75}}{\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{3}i}{\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{3}i}{\sqrt{5 \times 3}} = \frac{5\sqrt{3}i}{\sqrt{5}\sqrt{3}} = \frac{5i}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}i}{5} = \sqrt{5}i$

3. 最終的な答え

(1) -18

(2) 2

(3) $\sqrt{5}i$