$0 < \theta < \pi$ の範囲で $\theta$ が動くとき、xy平面上の3点 $P(1, 0)$, $Q(\cos\theta, \sin\theta)$, $R(\cos2\theta, \sin2\theta)$ について、以下の問いに答える。 (1) $\triangle PQR$ の面積 $S$ を $\theta$ を用いて表す。 (2) $S$ の最大値と、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \pi$ の範囲で $\theta$ が動くとき、xy平面上の3点 $P(1, 0)$, $Q(\cos\theta, \sin\theta)$, $R(\cos2\theta, \sin2\theta)$ について、以下の問いに答える。

(1) $\triangle PQR$ の面積 $S$ を $\theta$ を用いて表す。

(2) $S$ の最大値と、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle PQR$ の面積 $S$ を求める。

3点の座標がわかっているので、面積の公式を用いる。

$S = \frac{1}{2} |(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))|$

ここで、$P(1, 0)$, $Q(\cos\theta, \sin\theta)$, $R(\cos2\theta, \sin2\theta)$ とすると、

$S = \frac{1}{2} |(1(\sin\theta - \sin2\theta) + \cos\theta(\sin2\theta - 0) + \cos2\theta(0 - \sin\theta))|$

$S = \frac{1}{2} |\sin\theta - \sin2\theta + \cos\theta\sin2\theta - \cos2\theta\sin\theta|$

ここで、三角関数の積和の公式を用いる。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$

$\cos A \sin B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) - \sin(A-B))$

すると、

$\cos\theta\sin2\theta - \cos2\theta\sin\theta = \sin(2\theta-\theta) = \sin\theta$

したがって、

$S = \frac{1}{2} |\sin\theta - \sin2\theta + \sin\theta|$

$S = \frac{1}{2} |2\sin\theta - \sin2\theta|$

倍角の公式より、 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ であるから、

$S = \frac{1}{2} |2\sin\theta - 2\sin\theta\cos\theta|$

$S = |\sin\theta - \sin\theta\cos\theta|$

$S = |\sin\theta(1 - \cos\theta)|$

$0 < \theta < \pi$ より、 $\sin\theta > 0$ なので、絶対値を外せる。

$S = \sin\theta(1 - \cos\theta)$

(2) $S$ の最大値とそのときの $\theta$ の値を求める。

$S = \sin\theta(1 - \cos\theta)$ を $\theta$ で微分する。

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta(1 - \cos\theta) + \sin\theta(\sin\theta)$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - \cos^2\theta + (1 - \cos^2\theta)$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - 2\cos^2\theta + 1$

$\frac{dS}{d\theta} = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1$

$\frac{dS}{d\theta} = -(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1)$

$\frac{dS}{d\theta} = 0$ となるのは、 $\cos\theta = 1$ または $\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$0 < \theta < \pi$ より、 $\cos\theta = 1$ となるのは $\theta = 0$ となるが、これは範囲外。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{2\pi}{3}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき、

$S = \sin(\frac{2\pi}{3})(1 - \cos(\frac{2\pi}{3}))$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - (-\frac{1}{2}))$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\theta \to 0$ のとき $S \to 0$ であり、$\theta \to \pi$ のとき $S \to 0$ であるから、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ で最大となる。

3. 最終的な答え

(1) $S = \sin\theta(1 - \cos\theta)$

(2) 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $\theta = \frac{2\pi}{3}$