$\arccos x$ の微分が $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることを、逆関数の微分の公式を用いて示す問題です。

1. 問題の内容

$\arccos x$ の微分が $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることを、逆関数の微分の公式を用いて示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \arccos x$ とおきます。

このとき、$x = \cos y$ となります。

逆関数の微分の公式は、$\frac{dx}{dy} \neq 0$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

で与えられます。

$x = \cos y$ の両辺を $y$ で微分すると、

$\frac{dx}{dy} = -\sin y$

となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\sin y} = -\frac{1}{\sin y}$

となります。

ここで、$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、$\sin y = \pm \sqrt{1-\cos^2 y}$です。

$y = \arccos x$ より、$0 \leq y \leq \pi$であるので、$\sin y \geq 0$ です。

したがって、$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}$となります。

$\cos y = x$ なので、$\sin y = \sqrt{1-x^2}$となります。

ゆえに、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

となります。

$\frac{dy}{dx} = (\arccos x)'$ であるので、

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

が示されました。

3. 最終的な答え

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$