関数 $y = xe^x$ について、増減表を作成し、グラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^x$ について、増減表を作成し、グラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = xe^x$ の導関数 $y'$ を求めます。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$$y' = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (1+x)e^x$$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$(1+x)e^x = 0$

$e^x$ は常に正なので、$1+x = 0$ となる $x$ を求めます。

$x = -1$

増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... |

| :--- | :---- | :---- | :---- |

| y' | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -1$ のとき、$y = (-1)e^{-1} = -1/e$ となります。

したがって、$x = -1$ で極小値をとり、極小値は $y = -1/e$ です。

$x \to -\infty$ のとき、$y = xe^x \to 0$ となります。これは、$e^x$ の減衰が $x$ の発散よりも速いためです。

$x \to \infty$ のとき、$y = xe^x \to \infty$ となります。

グラフを描く際は、以下の点に注意します。

* $x = -1$ で極小値 $-1/e$ をとる。

* $x \to -\infty$ のとき、$y \to 0$ となる。

* $x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ となる。

3. 最終的な答え

増減表:

| x | ... | -1 | ... |

| :--- | :---- | :---- | :---- |

| y' | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小 $(-1, -1/e)$ | 増加 |

グラフは、x=-1で極小値-1/eを持ち、xが負の無限大に近づくとyは0に近づき、xが正の無限大に近づくとyも正の無限大に近づくような曲線を描きます。