与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ について、増減表を作成し、グラフを描く。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ について、増減表を作成し、グラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$

$y' = 3x^2 - 12x + 9$

次に、導関数 $y'$ が0になる $x$ の値を求めます。これは、関数の極値を与える $x$ の値です。

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

次に、$x=1$ と $x=3$ の前後で $y'$ の符号がどのように変化するか調べます。これによって、関数が増加しているか減少しているかがわかります。

* $x < 1$ のとき、$y' > 0$ （例：$x=0$ のとき、$y' = 9 > 0$）

* $1 < x < 3$ のとき、$y' < 0$ （例：$x=2$ のとき、$y' = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$）

* $x > 3$ のとき、$y' > 0$ （例：$x=4$ のとき、$y' = 48 - 48 + 9 = 9 > 0$）

$x=1$ で極大値をとり、$x=3$ で極小値をとることがわかります。

次に、極大値と極小値を求めます。

* $x = 1$ のとき、$y = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0$

* $x = 3$ のとき、$y = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 4 = 27 - 54 + 27 - 4 = -4$

したがって、$(1, 0)$ が極大値、$(3, -4)$ が極小値です。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| :--- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 0 | ↓ | -4 | ↑ |

最後に、これらの情報をもとにグラフを描きます。

グラフを描画する際に、念のため $y$ 切片を確認します。

$x=0$ のとき、$y = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) - 4 = -4$ なので、$y$切片は $(0, -4)$ です。

3. 最終的な答え

増減表と極大値、極小値、y切片の情報からグラフを描くことができます。グラフは省略します。

増減表は上記の通りです。

極大値： $(1, 0)$

極小値： $(3, -4)$

y切片： $(0, -4)$