以下の不定積分を計算します。 $\int \frac{1}{\sin x \cos^5 x} dx$

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{\sin x \cos^5 x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$\sin x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \tan x \cos x$と変形します。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sin x \cos^5 x} dx = \int \frac{1}{\tan x \cos x \cos^5 x} dx = \int \frac{1}{\tan x \cos^6 x} dx$

$\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x}$なので、$\cos^6 x = \frac{1}{\sec^6 x}$。したがって、

$\int \frac{1}{\tan x \cos^6 x} dx = \int \frac{\sec^6 x}{\tan x} dx$

次に、$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$であるため、$\sec^6 x = (\sec^2 x)^3 = (1 + \tan^2 x)^3$。したがって、

$\int \frac{\sec^6 x}{\tan x} dx = \int \frac{(1 + \tan^2 x)^3}{\tan x} dx = \int \frac{1 + 3 \tan^2 x + 3 \tan^4 x + \tan^6 x}{\tan x} dx$

$u = \tan x$と置換すると、$du = \sec^2 x dx$ですが、積分を$u$で表す方が簡単です。

$\int \frac{1 + 3 \tan^2 x + 3 \tan^4 x + \tan^6 x}{\tan x} dx = \int \left( \frac{1}{\tan x} + 3 \tan x + 3 \tan^3 x + \tan^5 x \right) dx$

$\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$。ここで、$v = \sin x$と置くと、$dv = \cos x dx$なので、$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{v} dv = \ln |v| + C = \ln |\sin x| + C$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$。ここで、$w = \cos x$と置くと、$dw = -\sin x dx$なので、$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = - \int \frac{1}{w} dw = -\ln |w| + C = -\ln |\cos x| + C$

$\int \tan^3 x dx = \int \tan x (\tan^2 x) dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) dx = \int \tan x \sec^2 x dx - \int \tan x dx$。ここで、$u = \tan x$と置くと、$du = \sec^2 x dx$なので、$\int \tan x \sec^2 x dx = \int u du = \frac{1}{2} u^2 + C = \frac{1}{2} \tan^2 x + C$。したがって、$\int \tan^3 x dx = \frac{1}{2} \tan^2 x + \ln |\cos x| + C$

$\int \tan^5 x dx = \int \tan^3 x (\tan^2 x) dx = \int \tan^3 x (\sec^2 x - 1) dx = \int \tan^3 x \sec^2 x dx - \int \tan^3 x dx$。ここで、$u = \tan x$と置くと、$du = \sec^2 x dx$なので、$\int \tan^3 x \sec^2 x dx = \int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} \tan^4 x + C$。したがって、$\int \tan^5 x dx = \frac{1}{4} \tan^4 x - \frac{1}{2} \tan^2 x - \ln |\cos x| + C$

よって、

$\int \left( \frac{1}{\tan x} + 3 \tan x + 3 \tan^3 x + \tan^5 x \right) dx = \ln |\sin x| - 3 \ln |\cos x| + 3 \left( \frac{1}{2} \tan^2 x + \ln |\cos x| \right) + \frac{1}{4} \tan^4 x - \frac{1}{2} \tan^2 x - \ln |\cos x| + C$

$= \ln |\sin x| - \ln |\cos x| + \frac{3}{2} \tan^2 x + \frac{1}{4} \tan^4 x - \frac{1}{2} \tan^2 x + C = \ln |\tan x| + \frac{1}{4} \tan^4 x + \tan^2 x + C$

3. 最終的な答え

$\ln |\tan x| + \tan^2 x + \frac{1}{4} \tan^4 x + C$