次の極限を求めます。 $\lim_{x\to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x\to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$

2. 解き方の手順

与えられた極限を計算するために、まず$\frac{x-1}{x+1}$を以下のように変形します。

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x\to +\infty} x \log\left(1 - \frac{2}{x+1}\right)$

ここで、$u = \frac{1}{x}$とおくと、$x \to +\infty$のとき、$u \to 0$となります。

また、$x = \frac{1}{u}$なので、次のようになります。

$\lim_{u\to 0} \frac{1}{u} \log\left(1 - \frac{2}{\frac{1}{u}+1}\right) = \lim_{u\to 0} \frac{1}{u} \log\left(1 - \frac{2u}{1+u}\right)$

$\log(1+x)$の$x=0$におけるテイラー展開は、$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$です。したがって、$x$が0に近いとき、$\log(1+x) \approx x$と近似できます。この近似を使うと、

$\lim_{u\to 0} \frac{1}{u} \log\left(1 - \frac{2u}{1+u}\right) \approx \lim_{u\to 0} \frac{1}{u} \left(-\frac{2u}{1+u}\right) = \lim_{u\to 0} -\frac{2}{1+u} = -2$

あるいは、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{u\to 0} \frac{\log\left(1 - \frac{2u}{1+u}\right)}{u}$は$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を使えます。

分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\lim_{u\to 0} \frac{\frac{1}{1-\frac{2u}{1+u}} \cdot \left(-\frac{2(1+u)-2u}{(1+u)^2}\right)}{1} = \lim_{u\to 0} \frac{1+u}{1-u} \cdot \left(-\frac{2}{(1+u)^2}\right) = \lim_{u\to 0} \frac{1+u}{1-u} \cdot \frac{-2}{(1+u)^2} = \lim_{u\to 0} \frac{-2}{(1-u)(1+u)} = \lim_{u\to 0} \frac{-2}{1-u^2} = -2$

3. 最終的な答え

-2