(1) $\int xe^{-x} dx$ を計算する。 (2) $\int_0^1 \arctan x dx$ を計算する。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $\int xe^{-x} dx$ を計算する。

(2) $\int_0^1 \arctan x dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

部分積分を用いて計算します。

$u = x$ , $dv = e^{-x} dx$ とおくと、$du = dx$ , $v = -e^{-x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) dx$

$= -xe^{-x} + \int e^{-x} dx$

$= -xe^{-x} - e^{-x} + C$

$= -(x+1)e^{-x} + C$

(2)

部分積分を用いて計算します。

$u = \arctan x$ , $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ , $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int_0^1 \arctan x dx = [x \arctan x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$

$= (1 \cdot \arctan 1 - 0 \cdot \arctan 0) - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$

$= \arctan 1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$

$= \frac{\pi}{4} - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$

ここで、$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。

$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

$x=0$ のとき $t=1$, $x=1$ のとき $t=2$ となります。

$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt$

$= \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{t} dt$

$= \frac{1}{2} [\ln |t|]_1^2$

$= \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1)$

$= \frac{1}{2} \ln 2$

よって、

$\int_0^1 \arctan x dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^{-x} dx = -(x+1)e^{-x} + C$

(2) $\int_0^1 \arctan x dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$