$ (x-y+1)^2 - 4(x-y+1) + 4 $ を因数分解してください。

## 36 (1) の問題

1. 問題の内容

$(x-y+1)^2 - 4(x-y+1) + 4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は $A = x-y+1$ と置換すると、

$A^2 - 4A + 4$ となります。

これは $(A - 2)^2$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、

$(x - y + 1 - 2)^2$ となります。

これを整理すると、

$(x - y - 1)^2$ となります。

3. 最終的な答え

$(x - y - 1)^2$

## 36 (2) の問題

1. 問題の内容

$x^2 - 4(y+z)x + 3(y+z)^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は $x$ の2次式と見て、因数分解します。

$x^2 - 4(y+z)x + 3(y+z)^2 = (x - a)(x - b)$ の形になるように $a$ と $b$ を探します。

$a + b = 4(y+z)$

$ab = 3(y+z)^2$

を満たす $a$ と $b$ は、$a = (y+z)$、$b = 3(y+z)$ であることが分かります。

したがって、

$x^2 - 4(y+z)x + 3(y+z)^2 = (x - (y+z))(x - 3(y+z))$

$= (x - y - z)(x - 3y - 3z)$

3. 最終的な答え

$(x - y - z)(x - 3y - 3z)$

## 36 (3) の問題

1. 問題の内容

$x^2 + 10x + 25 - 9y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^2 + 10x + 25$ は $(x+5)^2$ と因数分解できます。

したがって、式は $(x+5)^2 - 9y^2$ となります。

これは $A^2 - B^2$ の形なので、$(A+B)(A-B)$ と因数分解できます。

$A = x+5$、$B = 3y$ とすると、

$(x+5)^2 - (3y)^2 = (x+5+3y)(x+5-3y)$

$= (x+3y+5)(x-3y+5)$

3. 最終的な答え

$(x + 3y + 5)(x - 3y + 5)$

## 36 (4) の問題

1. 問題の内容

$9x^2 - y^2 + 4y - 4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$-y^2 + 4y - 4$ は $-(y^2 - 4y + 4) = -(y-2)^2$ と変形できます。

したがって、式は $9x^2 - (y-2)^2$ となります。

これは $A^2 - B^2$ の形なので、$(A+B)(A-B)$ と因数分解できます。

$A = 3x$、$B = y-2$ とすると、

$(3x)^2 - (y-2)^2 = (3x + (y-2))(3x - (y-2))$

$= (3x + y - 2)(3x - y + 2)$

3. 最終的な答え

$(3x + y - 2)(3x - y + 2)$

## 37 (1) の問題

1. 問題の内容

$(a^2 + 4a)^2 - 8(a^2 + 4a) - 48$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$A = a^2 + 4a$ と置換すると、式は $A^2 - 8A - 48$ となります。

これは $(A - 12)(A + 4)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、

$(a^2 + 4a - 12)(a^2 + 4a + 4)$ となります。

それぞれを因数分解すると、

$a^2 + 4a - 12 = (a + 6)(a - 2)$

$a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$

したがって、

$(a^2 + 4a - 12)(a^2 + 4a + 4) = (a + 6)(a - 2)(a + 2)^2$

3. 最終的な答え

$(a + 6)(a - 2)(a + 2)^2$

## 37 (2) の問題

1. 問題の内容

$(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$A = x^2 + 2x$ と置換すると、式は $A(A - 4) + 3$ となります。

これは $A^2 - 4A + 3$ と展開でき、$(A - 1)(A - 3)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、

$(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 3)$ となります。

$x^2 + 2x - 3$ は $(x + 3)(x - 1)$ と因数分解できますが、$x^2 + 2x - 1$ は実数の範囲では因数分解できません。

したがって、

$(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 3) = (x^2 + 2x - 1)(x + 3)(x - 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x - 1)(x + 3)(x - 1)$