分配法則と2乗の展開公式を用いて、$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を証明する。

1. 問題の内容

分配法則と2乗の展開公式を用いて、$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^3$ を $(a+b)^2 (a+b)$ と変形する。

次に、$(a+b)^2$ を展開する。

そして、展開した結果に $(a+b)$ を分配法則を用いてかける。

最後に、同類項をまとめる。

$(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b)$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a+b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b)$

分配法則を用いて展開すると、

$(a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^2(a+b) + 2ab(a+b) + b^2(a+b)$

$= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$

同類項をまとめると、

$a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

したがって、$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ が証明された。

3. 最終的な答え

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$