3次式 $P(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b$ があり、$P(2) = 0$ である。ただし、$a, b$ は実数である。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $P(x)$ を因数分解せよ。また、方程式 $P(x) = 0$ が2つの虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ が2つの虚数解をもち、この2つの虚数解が方程式 $x^2 + px + 21 = 0$ ($p$ は実数の定数) の解であるとき、$a, p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次式 $P(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b$ があり、$P(2) = 0$ である。ただし、$a, b$ は実数である。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $P(x)$ を因数分解せよ。また、方程式 $P(x) = 0$ が2つの虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が2つの虚数解をもち、この2つの虚数解が方程式 $x^2 + px + 21 = 0$ ($p$ は実数の定数) の解であるとき、$a, p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(2) = 0$ を利用して、$b$ を $a$ で表す。

$P(2) = 2^3 - 4(2^2) + 2a + b = 8 - 16 + 2a + b = 2a + b - 8 = 0$

よって、$b = 8 - 2a$。

(2) (1)の結果を用いて、$P(x)$ を因数分解する。

$P(x) = x^3 - 4x^2 + ax + 8 - 2a$

$P(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 2a + 8$

$P(x) = x^3 - 4x^2 + a(x-2) + 8$

$P(2)=0$ より、$x-2$ を因数にもつので、$P(x)$ を $x-2$ で割ると、

$P(x) = (x-2)(x^2 - 2x - 4 + a)$

$P(x) = 0$ が2つの虚数解を持つためには、$x^2 - 2x - 4 + a = 0$ が虚数解を持てば良い。

判別式を $D$ とすると、$D < 0$ であれば良い。

$D = (-2)^2 - 4(1)(-4+a) = 4 + 16 - 4a = 20 - 4a < 0$

$4a > 20$

$a > 5$

(3) $x^2 + px + 21 = 0$ の解が、$x^2 - 2x - 4 + a = 0$ の解と一致する。

したがって、$x^2 - 2x - 4 + a = 0$ の解は虚数解である。

解と係数の関係より、2つの虚数解の積は $21$ となる。

$x^2 - 2x - 4 + a = 0$ において、解の積は $-4 + a$ なので、

$-4 + a = 21$

$a = 25$

また、解と係数の関係より、2つの虚数解の和は $-p$ となる。

$x^2 - 2x - 4 + a = 0$ において、解の和は $2$ なので、

$2 = -p$

$p = -2$

3. 最終的な答え

(1) $b = 8 - 2a$

(2) $P(x) = (x-2)(x^2 - 2x - 4 + a)$, $a > 5$

(3) $a = 25$, $p = -2$