整式 $P(x) = x^3 - (k+4)x^2 + (2k+5)x + 3k + 10$ が与えられています。ここで、$k$ は実数の定数です。 (1) $P(-1)$ の値を求めます。 (2) 3次方程式 $P(x) = 0$ が虚数解を持つような $k$ の値の範囲を求めます。 (3) (2)のとき、3次方程式 $P(x) = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とします。 $(\alpha + 2\beta)^2 + (\beta + 2\gamma)^2 + (\gamma + 2\alpha)^2 = 11$ となるような $k$ の値を求めます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = x^3 - (k+4)x^2 + (2k+5)x + 3k + 10$ が与えられています。ここで、$k$ は実数の定数です。

(1) $P(-1)$ の値を求めます。

(2) 3次方程式 $P(x) = 0$ が虚数解を持つような $k$ の値の範囲を求めます。

(3) (2)のとき、3次方程式 $P(x) = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とします。 $(\alpha + 2\beta)^2 + (\beta + 2\gamma)^2 + (\gamma + 2\alpha)^2 = 11$ となるような $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(-1)$ を計算します。

$P(-1) = (-1)^3 - (k+4)(-1)^2 + (2k+5)(-1) + 3k + 10$

$P(-1) = -1 - (k+4) - 2k - 5 + 3k + 10$

$P(-1) = -1 - k - 4 - 2k - 5 + 3k + 10 = 0$

(2) $P(x) = 0$ が虚数解を持つ条件を考えます。

$P(-1) = 0$ より、$P(x)$ は $x+1$ で割り切れます。実際に割り算を行うと、

$P(x) = (x+1)(x^2 - (k+5)x + 3k+10)$

$P(x) = 0$ が虚数解を持つためには、2次方程式 $x^2 - (k+5)x + 3k+10 = 0$ が虚数解を持つ必要があります。

判別式を $D$ とすると、$D < 0$ です。

$D = (k+5)^2 - 4(3k+10) = k^2 + 10k + 25 - 12k - 40 = k^2 - 2k - 15 = (k-5)(k+3)$

したがって、$(k-5)(k+3) < 0$ より、$-3 < k < 5$ 。

(3) $x^2 - (k+5)x + 3k+10 = 0$ の2つの解を $\beta, \gamma$ とします。$\alpha = -1$ です。

$\beta + \gamma = k+5$

$\beta\gamma = 3k+10$

$(\alpha + 2\beta)^2 + (\beta + 2\gamma)^2 + (\gamma + 2\alpha)^2 = 11$

$(-1+2\beta)^2 + (\beta+2\gamma)^2 + (\gamma-2)^2 = 11$

$1 - 4\beta + 4\beta^2 + \beta^2 + 4\beta\gamma + 4\gamma^2 + \gamma^2 - 4\gamma + 4 = 11$

$5\beta^2 + 5\gamma^2 - 4(\beta + \gamma) + 4\beta\gamma + 5 = 11$

$5(\beta^2 + \gamma^2) - 4(\beta + \gamma) + 4\beta\gamma - 6 = 0$

$5((\beta + \gamma)^2 - 2\beta\gamma) - 4(\beta + \gamma) + 4\beta\gamma - 6 = 0$

$5(k+5)^2 - 10(3k+10) - 4(k+5) + 4(3k+10) - 6 = 0$

$5(k^2 + 10k + 25) - 30k - 100 - 4k - 20 + 12k + 40 - 6 = 0$

$5k^2 + 50k + 125 - 30k - 100 - 4k - 20 + 12k + 40 - 6 = 0$

$5k^2 + 28k + 39 = 0$

$(5k + 13)(k+3) = 0$

$k = -3$ または $k = -\frac{13}{5}$

$-3 < k < 5$ より、$k = -13/5$

3. 最終的な答え

(1) $P(-1) = 0$

(2) $-3 < k < 5$

(3) $k = -\frac{13}{5}$