不等式 $2x - 3 > a + 8x$ について、以下の問いに答える。 (1) 解が $x < 1$ となるように、定数 $a$ の値を定める。 (2) 解が $x = 0$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を定める。 (3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が 0 となるように、定数 $a$ の範囲を定める。

1. 問題の内容

不等式 $2x - 3 > a + 8x$ について、以下の問いに答える。

(1) 解が $x < 1$ となるように、定数 $a$ の値を定める。

(2) 解が $x = 0$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を定める。

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が 0 となるように、定数 $a$ の範囲を定める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を解き、xについて整理する。

$2x - 3 > a + 8x$

$-6x > a + 3$

$x < -\frac{a+3}{6}$

(1) 解が $x < 1$ となるように $a$ の値を定める。

$x < -\frac{a+3}{6}$ と $x < 1$ が一致する必要があるので、

$-\frac{a+3}{6} = 1$

$-a - 3 = 6$

$-a = 9$

$a = -9$

(2) 解が $x = 0$ を含むように $a$ の範囲を定める。

$x = 0$ が解であるということは、$x = 0$ を不等式に代入したときに不等式が成立するということである。

$0 < -\frac{a+3}{6}$

$0 > a+3$

$a < -3$

(3) 不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が 0 となるように $a$ の範囲を定める。

$x < -\frac{a+3}{6}$ を満たす最大の整数が 0 であるということは、

$0 < -\frac{a+3}{6} \le 1$ である。

$0 < -\frac{a+3}{6}$ はすでに (2) で $a < -3$ であることがわかっている。

$-\frac{a+3}{6} \le 1$ を解くと、

$-a-3 \le 6$

$-a \le 9$

$a \ge -9$

したがって、$a < -3$ と $a \ge -9$ を満たす $a$ の範囲は $-9 \le a < -3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -9$

(2) $a < -3$

(3) $-9 \le a < -3$