$a$ は定数とする。関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) について、次の問いに答えよ。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) について、次の問いに答えよ。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6ax + 2 = 3(x^2 - 2ax) + 2 = 3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2 = 3(x-a)^2 - 3a^2 + 2$

したがって、軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ なので、軸 $x=a$ の位置によって場合分けを行います。

(1) 最小値を求める。

(i) $a < 0$ のとき、定義域内で $x$ が増加するにつれて $y$ は増加するので、$x=0$ で最小値をとります。

$y(0) = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、頂点が定義域に含まれるので、$x=a$ で最小値をとります。

$y(a) = 3(a-a)^2 - 3a^2 + 2 = -3a^2 + 2$

(iii) $a > 2$ のとき、定義域内で $x$ が増加するにつれて $y$ は減少するので、$x=2$ で最小値をとります。

$y(2) = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$

(2) 最大値を求める。

軸 $x=a$ から定義域の両端 $x=0$ と $x=2$ までの距離を比較します。

(i) $a \le 1$ のとき、軸から $x=2$ の方が遠いので、$x=2$ で最大値をとります。

$y(2) = 14 - 12a$

(ii) $a > 1$ のとき、軸から $x=0$ の方が遠いので、$x=0$ で最大値をとります。

$y(0) = 2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、$2$

$0 \le a \le 2$ のとき、$-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、$14 - 12a$

(2) 最大値

$a \le 1$ のとき、$14 - 12a$

$a > 1$ のとき、$2$