与えられた複素数 (1) $3+3i$, (2) $2\sqrt{3}-2i$, (3) $5i$, (4) $-4$, (5) $-1-i$, (6) $\sqrt{3}-3i$ を極形式で表す問題です。ただし、(1)~(4)の偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$, (5), (6)の偏角 $\theta$ の範囲は $-\pi < \theta \le \pi$ とします。

1. 問題の内容

与えられた複素数 (1) $3+3i$, (2) $2\sqrt{3}-2i$, (3) $5i$, (4) $-4$, (5) $-1-i$, (6) $\sqrt{3}-3i$ を極形式で表す問題です。ただし、(1)~(4)の偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$, (5), (6)の偏角 $\theta$ の範囲は $-\pi < \theta \le \pi$ とします。

2. 解き方の手順

複素数 $z = a+bi$ を極形式 $r(\cos \theta + i\sin \theta)$ で表すには、まず絶対値 $r = \sqrt{a^2+b^2}$ を計算し、次に偏角 $\theta$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{a}{r}$, $\sin \theta = \frac{b}{r}$ を満たす $\theta$ を、与えられた範囲内で見つけます。

(1) $3+3i$:

$r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$

よって、極形式は $3\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$

(2) $2\sqrt{3}-2i$:

$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{11\pi}{6}$

よって、極形式は $4(\cos \frac{11\pi}{6} + i\sin \frac{11\pi}{6})$

(3) $5i$:

$r = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5$

$\cos \theta = \frac{0}{5} = 0$, $\sin \theta = \frac{5}{5} = 1$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

よって、極形式は $5(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})$

(4) $-4$:

$r = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$

$\cos \theta = \frac{-4}{4} = -1$, $\sin \theta = \frac{0}{4} = 0$

$\theta = \pi$

よって、極形式は $4(\cos \pi + i\sin \pi)$

(5) $-1-i$:

$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = -\frac{3\pi}{4}$

よって、極形式は $\sqrt{2}(\cos (-\frac{3\pi}{4}) + i\sin (-\frac{3\pi}{4}))$

(6) $\sqrt{3}-3i$:

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = -\frac{\pi}{3}$

よって、極形式は $2\sqrt{3}(\cos (-\frac{\pi}{3}) + i\sin (-\frac{\pi}{3}))$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$

(2) $4(\cos \frac{11\pi}{6} + i\sin \frac{11\pi}{6})$

(3) $5(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})$

(4) $4(\cos \pi + i\sin \pi)$

(5) $\sqrt{2}(\cos (-\frac{3\pi}{4}) + i\sin (-\frac{3\pi}{4}))$

(6) $2\sqrt{3}(\cos (-\frac{\pi}{3}) + i\sin (-\frac{\pi}{3}))$