$x$ の3次式 $P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + 3(a-2)x - 2a$ が与えられている。ただし、$a$ は実数の定数である。 (1) $P(x)$ を $x-2$ で割った商を求める。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ の1つの解が $1+2i$ であるとき、$a$ の値を求める。ただし、$i$ は虚数単位とする。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつとする。このとき、$P(x) = 0$ の3つの解の平方の和が6であるような $a$ の値を求める。

## 回答

1. 問題の内容

$x$ の3次式 $P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + 3(a-2)x - 2a$ が与えられている。ただし、$a$ は実数の定数である。

(1) $P(x)$ を $x-2$ で割った商を求める。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ の1つの解が $1+2i$ であるとき、$a$ の値を求める。ただし、$i$ は虚数単位とする。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつとする。このとき、$P(x) = 0$ の3つの解の平方の和が6であるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x-2$ で割った商を求める。

割り算を実行する。

$P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + 3(a-2)x - 2a$

$x-2$ で割ると

```

x^2 + (3-a)x + a

x-2 | x^3 - (a-1)x^2 + 3(a-2)x - 2a

x^3 - 2x^2

---------------------

(3-a)x^2 + 3(a-2)x

(3-a)x^2 - 2(3-a)x

---------------------

ax - 2a

ax - 2a

---------------------

0

```

したがって、商は $x^2 + (3-a)x + a$ である。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ の1つの解が $1+2i$ であるとき、$a$ の値を求める。

$1+2i$ が解であるから、$P(1+2i)=0$ が成り立つ。

$P(1+2i) = (1+2i)^3 - (a-1)(1+2i)^2 + 3(a-2)(1+2i) - 2a = 0$

$(1+2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

$(1+2i)^3 = (1+2i)(-3+4i) = -3 + 4i - 6i - 8 = -11 - 2i$

$P(1+2i) = (-11 - 2i) - (a-1)(-3+4i) + 3(a-2)(1+2i) - 2a = 0$

$-11 - 2i + (3a-3) - (4a-4)i + (3a-6) + (6a-12)i - 2a = 0$

$(-11 + 3a - 3 + 3a - 6 - 2a) + (-2 - 4a + 4 + 6a - 12)i = 0$

$(4a - 20) + (2a - 10)i = 0$

したがって、$4a - 20 = 0$ かつ $2a - 10 = 0$ である。

$a = 5$

(3) 方程式 $P(x) = 0$ が虚数解をもつとする。このとき、$P(x) = 0$ の3つの解の平方の和が6であるような $a$ の値を求める。

$P(x) = x^3 - (a-1)x^2 + 3(a-2)x - 2a = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta + \gamma = a - 1$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 3(a-2)$

$\alpha \beta \gamma = 2a$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = (a-1)^2 - 2 \cdot 3(a-2) = a^2 - 2a + 1 - 6a + 12 = a^2 - 8a + 13$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 6$ より

$a^2 - 8a + 13 = 6$

$a^2 - 8a + 7 = 0$

$(a-1)(a-7) = 0$

$a=1$ または $a=7$

$a=1$のとき、$P(x)=x^3+3(-1)x-2 = x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)$

このとき、解は $-1, -1, 2$ であり、虚数解を持たない。

$a=7$のとき、$P(x)=x^3 - 6x^2 + 15x - 14$

$x=2$ は解ではないので、$x-2$で割り切れない。

また、$1 \pm 2i$ は解ではない。

$P(x) = (x-2)(x^2+(3-a)x+a)=0$

$\alpha = 2$

$\beta, \gamma$は、$x^2+(3-a)x+a=0$の解。

$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 4 + \beta^2 + \gamma^2 = 6$

$\beta^2 + \gamma^2 = 2$

$\beta+\gamma=a-3$

$\beta\gamma = a$

$\beta^2+\gamma^2 = (\beta+\gamma)^2 - 2\beta\gamma = (a-3)^2-2a = a^2-6a+9-2a=a^2-8a+9$

$a^2-8a+9=2$

$a^2-8a+7=0$

$(a-1)(a-7)=0$

$a=1, a=7$

$a=1$のとき、$x^2+2x+1=0$　$x=-1$

$a=7$のとき、$x^2-4x+7=0$　$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-28}}{2}=2\pm\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + (3-a)x + a$

(2) $a=5$

(3) $a=7$