不等式 $|a+b| \leq |a| + |b|$ を証明し、さらに等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|a+b| \leq |a| + |b|$ を証明し、さらに等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺が非負であることから、両辺を2乗して考えます。

$(|a+b|)^2 \leq (|a|+|b|)^2$

$|a+b|^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(|a|+|b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|a||b| + b^2$

したがって、証明すべき不等式は

$a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|a||b| + b^2$

となります。両辺から $a^2 + b^2$ を引くと、

$2ab \leq 2|a||b|$

$ab \leq |a||b|$

となります。ここで、$|a||b| - ab \geq 0$ であることを示せばよいです。

$ab \leq |a||b|$ は常に成立します。なぜなら、

$ab \leq |ab| = |a||b|$ だからです。

したがって、 $|a+b| \leq |a| + |b|$ は証明されました。

次に、等号が成り立つ条件を考えます。

$ab = |a||b|$ が成り立つときを考えればよいです。

$|a||b| - ab = 0$

$|ab| - ab = 0$

これは、$ab \geq 0$ のとき、つまり、$a$ と $b$ が同符号（または少なくとも一方が0）のときに成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $|a+b| \leq |a| + |b|$ は証明されました。

等号が成り立つのは、$ab \geq 0$ のとき、つまり、$a$ と $b$ が同符号であるか、少なくとも一方が0であるときです。