質点が放物線 $y = x^2$ 上を運動しており、質点の速度のx軸方向成分が一定の値 $a$ であるとき、質点の速度と加速度を求める問題です。

1. 問題の内容

質点が放物線 $y = x^2$ 上を運動しており、質点の速度のx軸方向成分が一定の値 $a$ であるとき、質点の速度と加速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

質点の位置座標を $(x, y)$ とすると、 $y = x^2$ の関係があります。

質点の速度を $\vec{v} = (v_x, v_y)$ とすると、$v_x = \frac{dx}{dt}$ かつ $v_y = \frac{dy}{dt}$ です。

また、加速度を $\vec{a} = (a_x, a_y)$ とすると、$a_x = \frac{dv_x}{dt}$ かつ $a_y = \frac{dv_y}{dt}$ です。

問題文より、$v_x = a$ (一定) であることがわかっています。

$y = x^2$ を時間 $t$ で微分すると、

$\frac{dy}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$

$v_y = 2xv_x$

$v_y = 2xa$

したがって、速度ベクトルは $\vec{v} = (a, 2ax)$ となります。

次に加速度を求めます。$v_x = a$ なので、

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{da}{dt} = 0$

$v_y = 2ax$ を時間 $t$ で微分すると、

$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 2a\frac{dx}{dt} = 2av_x = 2a^2$

したがって、加速度ベクトルは $\vec{a} = (0, 2a^2)$ となります。

3. 最終的な答え

速度: $\vec{v} = (a, 2ax)$

加速度: $\vec{a} = (0, 2a^2)$